Formule de Bayes

Soit  \(A\)  et  \(B\)  deux événements associés à une même univers tels que \(P(A) \neq 0\)  et \(P(B) \neq 0\) .

La formule de Bayes, très utilisée en probabilités, s'énonce ainsi :

\(P_B(A)=\dfrac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}= \dfrac{P(A) \times P_A(B)}{P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_\overline{A}(B)}\) .

1. Démonstration de la formule de Bayes

En s'appuyant sur les arbres ci-dessous :

    a. Démontrer que \(P(B)\times P_B(A)= P(A \cap B)\) et que \(P(A) \times P_A(B)= P(A \cap B)\) .

    b. En déduire la formule de Bayes.

2. Application

Une usine fabrique des pièces mécaniques dont \(7\,\%\) sont défectueuses. Avant leur sortie d'usine, les pièces sont contrôlées par un système électronique. Le contrôle élimine \(97\,\%\) des pièces défectueuses et élimine \(4\,\%\) des pièces qui ne sont pas défectueuses.

Une pièce a passé avec succès le contrôle. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ? Donner le résultat arrondi au millième.

Aide   On pourra s'aider, avant l'utilisation de la formule de Bayes, d'un arbre pondéré après avoir défini les événements nécessaires.